Tracéplanning/Tracéspecificatie

8. Tracéspecificatie

Het resultaat van het specificeren van alternatieve tracés is een aantal schetsontwerpen. De precieze geometrie van het tracé, het alignement, moet nog nader worden uitgewerkt om de tracés te kunnen beoordelen.

Bepalend voor het alignement zijn meestal bepaalde dwangpunten. Voorbeelden van dwangpunten zijn:

• de minimale of maximale hoogte van een tracé, gegeven kruisende infrastructuur (kruisende weg, spoorweg, pijpleiding, elektriciteitskabels, etc.);
• aansluiting van het tracé aan het bestaande netwerk;
• te vermijden objecten (inclusief marges).

Bepalen van dwanghoogtes

Indien twee tracés elkaar ongelijkvloers dienen te kruisen, dan is het minimale hoogteverschil tussen de assen altijd meer dan de minimale vrije hoogte benodigd voor het kruisende verkeer. De volgende aspecten spelen mede een rol:

• de dikte van de constructie van het kunstwerk dat de ongelijkvloerse kruising mogelijk maakt;
• de helling van het onderste tracé;
• de verkanting van het bovenste tracé;
• eventuele ruimte voor correcties van de wegligging, bijvoorbeeld bij overlagingen van asfaltlagen.

Bepaling van dwanghoogte van wegas van autosnelweg (op kunstwerk) ten opzichte van NAP, gegeven de hoogte van de kruisende weg

De bovenstaande figuur illustreert de berekening van de minimum hoogteligging van de hartlijn van een nieuwe autosnelweg die een (vlakke) weg op maaiveld kruist. De zijkant van het viaduct is maatgevend voor de minimum doorrijhoogte, terwijl de wegas van de autosnelweg in het midden ligt. De minimumhoogte van de wegas wordt hier dus berekend door:

• De hoogte h_w van de as van de onderste weg t.o.v. NAP;
• plus de minimum doorrijhoogte h₀;
• plus een marge, o.a. voor latere overlagingen h₊;
• plus de constructiehoogte van het kunstwerk c;
• plus de constructiehoogte van de bovenbouw van de (spoor)weg c₊
• plus het hoogteverschil tussen zijkant en wegas autosnelweg (afstand wegas - rand kunstwerk b vermenigvuldigd met het verkantingspercentage p).

Uitwerking van het horizontaal alignement

Het horizontaal alignement van wegen, spoorwegen en fietspaden (en ook van de meeste soorten leidingen) wordt opgebouwd uit een beperkt aantal elementen. De belangrijkste elementen zijn:

• rechte lijn;
• cirkelboog;
• overgangsboog.

In deze paragraaf gaan we vooral in op de berekening van de lengte van deze elementen, gegeven enkele randvoorwaarden.

Rechte lijn

De rechte lijn is in de Euclidische meetkunde de kortste verbindingsweg tussen twee punten. De rechte lijn is daarmee de meest directe manier om twee plaatsen te verbinden. Veel tracés van kanalen, spoorwegen en wegen bevatten daarom rechte lijnen.

De lengte van een lijn d is volgens de stelling van Pythagoras gelijk aan de wortel uit de som van de kwadraten van de verschillen tussen de coördinaten van de eindpunten $p_{1}=(x_{1},y_{1})$ en $p_{2}=(x_{2},y_{2})$:

$d={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$

Cirkelboog

Naast rechte lijnen worden cirkelbogen gebruikt in het horizontaal alignement om vloeiende richtingsveranderingen mogelijk te maken. Een cirkelboog is een deel van een volledige cirkel. Kenmerkend voor de cirkelboog is dat de hoeksnelheid en de benodigde middelpuntzoekende kracht om een boog te berijden constant zijn. Hierdoor is een cirkelboog berijdbaar met een constante stuurverdraaiing. Ook de theoretische verkanting, de verkanting waarbij de benodigde middelpuntzoekende kracht voor het berijden van een boog geheel wordt geleverd door de normaalkracht, is constant bij een constante boogstraal.

Voorbeeld van een cirkelsegment met tangenthoek $\alpha$, koorde k en pijl p.

De lengte van een cirkelboog kan het eenvoudigst worden berekend gegeven de tangenthoek en de boogstraal:

$l=\alpha *R$

Daarbij is de hoek $\alpha$ in radialen.

We kunnen echter ook gegeven de tangentpunten en -hoeken de boogstraal herleiden. Allereerst bepalen we de koorde k uit de rechtlijnige afstand tussen de tangentpunten. Er geldt nu dat:

${\frac {{\tfrac {1}{2}}k}{R}}=\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha$

Hieruit volgt dus dat:

$R={\frac {k}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\alpha }}$

Horizontaal alignement bij bundeling: cirkelboog als overgang tussen rechtstand en (tegengerichte) cirkelboog

Indien we een boog gebruiken om twee rechtstanden met elkaar te verbinden, is de middelpuntshoek $\alpha$ gelijk aan de tangenthoek $\theta$ van de beide kruisende lijnen. Bij een overgang tussen een rechtstand en een (ruime) boog moet daarbij ook een correctie plaatsvinden voor de boogstraal (zie bovenstaande figuur). De tangenthoek van de verbindingsboog $\alpha$ wordt dan berekend uit de tangenthoek tussen de aan te sluiten lijnen $\theta$, gecorrigeerd voor de middelpuntshoek $\beta$ van het 'geknipte' gedeelte uit de ruime boog:

$\alpha =\theta -\beta$

Overgangsboog

Clothoïde als overgangsboog

Een overgangsboog is de geleidelijke overgang tussen een rechtstand en een cirkelboog of tussen twee bogen met een verschillende straal R in het (horizontaal) alignement van een weg of spoorweg. Door de kromming van de weg of spoorweg geleidelijk toe- of af te laten nemen, wordt een plotselinge toe- of afname van de zijdelingse versnelling vermeden. Een nevenfunctie van de overgangsboog is om de verkanting van de weg geleidelijk te kunnen aanpassen, waarbij de gewenste verkanting weer afhankelijk is van de boogstraal en de ontwerpsnelheid.

Zowel voor wegen als spoorwegen geldt over het algemeen dat een overgangsboog enkel hoeft te worden toegepast tussen een rechtstand en een (ruime) boog, indien ook de verkanting verandert. Hoe ruim de betreffende boog moet zijn hangt samen met de ontwerpsnelheid. Zo hoeft volgens het Nederlandse Handboek Wegontwerp een boog met een straal vanaf 2000 meter in een stroomweg niet te worden ingeleid met een overgangsboog, terwijl bij een ontwerpsnelheid van 50 km/uur een boog met een straal vanaf 300 meter reeds geen overgangsboog meer behoeft .

Als overgangsboog wordt in Europa meestal de clothoïde gebruikt voor zowel wegen als spoorwegen. Een clothoïde (Grieks: κλοθειν (klothein), spinnen (wol)) is een symmetrische dubbelspiraal met het buigpunt in de oorsprong, met de eigenschap dat met toenemende booglengte ook de kromming toeneemt en wel geldt in elk punt van de kromme. De kromming is hierbij de inverse van de boogstraal:

${\frac {1}{r}}=k.l$

waarbij:

• r = de locale boogstraal op een punt van de clothoïde
• l = de verstreken booglengte van de clothoïde, gemeten vanaf het buigpunt
• k = een constante

De clothoïdeparameter k bepaalt dus de 'snelheid' van de verandering van de kromming.

De totale lengte van de clothoïde wordt berekend uit:

$L={\frac {A^{2}}{R}}$.

waarin:

• $A={\frac {1}{\sqrt {k}}}$
• R = de boogstraal van de in te leiden boog in [m],
• L = de booglengte [m] van de overgangsboog, gemeten vanaf de rechtstand.

In rechthoekige coördinaten kan de clothoïde niet exact worden weergegeven. De kubische spiraal is echter een goede benadering:

$x\approx l$

$y\approx {\frac {l^{3}}{6A^{2}}}$

Toepassing van de clothoïde als overgangsboog heeft een aantal kenmerken die over het algemeen als gunstig worden gezien door verkeersingenieurs:

• Bij constante snelheid is de toename van de kromming per tijdseenheid gelijk. Met andere woorden, de hoeksnelheid van een voertuig neemt lineair toe of af, of nog met andere woorden de hoekversnelling is constant.
• De toename van de dwarsversnelling per afgelegde afstand is gelijk, waardoor de toename van de dwarsversnelling per tijdseenheid gelijk is bij constante snelheid.
• De ideale verkanting neemt lineair toe als functie van de afgelegde afstand.

Indien geen overgangsboog zou worden toegepast, zou bij een overgang van een rechtstand of ruime boog naar een krappe boog de dwarsversnelling ineens toenemen, zou in het geval van wegverkeer een automobilist ineens een grote stuurverdraaiing moeten maken en zou al in de rechtstand of ruime boog de verkantingsovergang moeten worden aangebracht, wat ongunstig zou zijn uit comfortredenen.

Uitwerking van het verticaal alignement

De hoogteverschillen in het verticaal tracé kunnen zowel worden bepaald door dwanghoogtes van kruisende infrastructuur als door variaties in de basishoogteligging en variaties van het maaiveld zelf. Daarbij is het vaak de vraag of het gegeven een horizontaal tracé mogelijk is om een bepaald hoogteverschil te overbruggen.

In deze paragraaf kijken we specifiek naar het overbruggen van hoogteverschillen bij dwangpunten, gegeven een bij benadering vlak maaiveld. Dit is de meest voorkomende situatie in relatief vlakke gebieden.

We gaan nader in op de volgende situaties:

• overbrugging hoogteverschil met een helling (plus top- en voetboog)
• overbrugging hoogteverschil met enkel een top- en voetboog

Hierbij kijken we zowel naar de totale overbruggingslengte gegeven het maximum hellingpercentage als het maximum hellingpercentage gegeven de hellinglengte.

Overbrugging van een hoogteverschil met enkel top- en voetboog

Overbrugging van hoogteverschil met enkel een top- en voetboog.

Bovenstaande figuur illustreert de relatie tussen hoogteverschil, de gekozen boogstralen en het maximum hellingpercentage bij een overbrugging van een hoogteverschil met een voetboog, direct gevolgd door een topboog. Uitgangspunt is dat het tracé voor en na de hoogteoverbrugging vlak is.

Op basis van de bovenstaande figuur kun je afleiden dat de totale lengte van de helling L gelijk is aan:

$L={\sqrt {2.H.\sum R-H^{2}}}\approx {\sqrt {2.H.\sum R}}$

waarbij:

• $\sum R=R_{v}+R_{t}$: de som van de straal van de voetboog R_v en de straal van de topboog R_t in meter;
• H: het te overbruggen hoogteverschil in meter.

De hellingshoek op de aansluiting tussen de top- en voetboog - het steilste gedeelte dus - kun je als volgt berekenen: $\alpha =arccos{\frac {\sum R-H}{\sum R}}$

Het hellingpercentage 'i' kan daarmee als volgt worden berekend: $i={\frac {\sqrt {2H\sum R-H^{2}}}{\sum R-H}}\approx {\frac {2H}{L}}$

Overbrugging van een hoogteverschil met een helling

Een probleem bij de bovenstaande oplossing kan zijn dat vanaf een zeker hoogteverschil het maximum hellingpercentage ontoelaatbaar wordt. Een oplossing kan dan zijn de boogstralen te vergroten, maar dit leidt tot een sterke toename van de totale hellinglengte. Om de hellinglengte zo kort mogelijk te houden, is een alternatief om een helling toe te passen tussen de voet- en de topboog.

Uit het lengteprofiel is de 'extra' lengte van een voetboog af te leiden ten opzichte van een situatie met enkel een helling

De hellinglengte is in dit geval gelijk aan de het te overbruggen hoogteverschil gedeeld door het hellingpercentage, vermeerderd met de 'extra' hellinglengte z (zie bovenstaande figuur). Uit de bovenstaande figuur kunnen de volgende formules worden afgeleid voor x (lengte van de voetboog), y (hoogteverschil overbrugd door voetboog) en z (extra hellinglengte door voetboog):

$x=R\sin \alpha$

$y=R-R\cos \alpha$

$z=R\tan({\tfrac {1}{2}}\alpha )\approx {\tfrac {1}{2}}.i.R$

Hierbij is i het hellingpercentage, uitgedrukt als fractie (dus 5% wordt 0,05).

Uiteraard kunnen dezelfde formules worden toegepast voor topbogen.

---

Voetnoten: