Discrete Kansrekening/Verwachtingswaarde/Inleiding

Discrete Kansrekening

0. Inleiding
   1. Algemene opmerkingen
   2. Geschiedenis
   3. Literatuur
1. Basisbegrippen
   1. Experiment en uitkomstenruimte
   2. Intuïtief kansbegrip
   3. Kans
   4. Eigenschappen van kansen
   5. Vraagstukken
2. Symmetrische kansruimten
   1. Inleiding
   2. Combinatorische kansrekening
   3. Vraagstukken
3. Voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid
   1. Voorwaardelijke kans
   2. Onafhankelijke gebeurtenissen
   3. Samengestelde experimenten
   4. Vraagstukken
4. Stochastische variabelen
   1. Inleiding
   2. Kansverdeling
   3. Enkele bekende discrete verdelingen
   4. Vraagstukken
5. Simultane kansverdelingen
   1. Inleiding
   2. Voorwaardelijke kansverdelingen
   3. Onderling onafhankelijke stochastische variabelen
   4. Functies van stochastische variabelen
   5. Gelijkverdeelde stochastische variabelen
   6. Vraagstukken
6. Verwachtingswaarde
   1. Inleiding
   2. Verwachting van bekende discrete verdelingen
   3. Verwachting van functies van stochastische variabelen
   4. Eigenschappen van verwachtingswaarde
   5. Voorwaardelijke verwachtingswaarde
   6. Vraagstukken
7. Momenten
   1. Inleiding
   2. Variantie en standaardafwijking
   3. Variantie van bekende discrete verdelingen
   4. Covariantie en correlatie
   5. De ongelijkheid van Chebyshev
   6. De zwakke wet van de grote aantallen
   7. Vraagstukken
8. Tabellen
   1. Binomiale verdeling
   2. Poisson-verdeling
9. Register

6.1 InleidingBewerken

Werpen we een keer een zuivere dobbelsteen, dan kunnen we ons afvragen wat we als uitkomst zullen verwachten. De bedoeling is niet om de mogelijke uitkomsten met de bijbehorende kansen te noemen, maar één getal. We kunnen ook vragen welk bedrag iemand bereid is (maximaal) per worp te betalen, als hij het geworpen ogenaantal   krijgt uitbetaald. Dat bedrag noemen we het verwachte ogenaantal, of de verwachting(swaarde) van het ogenaantal  . Om dat verwachte ogenaantal te bepalen, herhalen we het spel. Als we   onafhankelijke worpen met een zuivere dobbelsteen uitvoeren, dan zal het gemiddelde ogenaantal   bij die   worpen voor grote   een goede indicatie geven van de verwachting. Er geldt:

 ,

waarin   het frequentiequotiënt is van de uitkomst   bij de   worpen. Omdat het frequentiequotiënt als voorbeeld diende voor de kans, zullen we het verwachte ogenaantal   definiëren als:

 .

In ons geval van een zuivere dobbelsteen wordt dat:

 

De algemene definitie voor verwachtingswaarde luidt:

Definitie 6.1.1

Onder de verwachting (of verwachtingswaarde) van een s.v.   verstaan we het getal

 ,

mits de som absoluut convergeert, dus mits

 

Als dit niet het geval is, dan zeggen we dat de verwachting niet bestaat.

Zoals we uit de definitie zien, is de verwachtingswaarde van een s.v.   het gewogen gemiddelde van de mogelijke waarden van  , met als gewichten de kansen op die waarden.

Voorbeeld 1

In een land is de volgende verdeling van het aantal kinderen over de echtparen bekend:

   ───────────────────────────────────────────────────────
      k    0      1      2      3      4        totaal
   ───────────────────────────────────────────────────────
     p(k)  0,15   0,30   0,30   0,20   0,05     1,00
    kp(k)  0      0,30   0,60   0,60   0,20     1,70 = EX
   ───────────────────────────────────────────────────────

Zij   het aantal kinderen van een willekeurig echtpaar in dat land. Dan is   en de kansverdeling van   wordt dan juist gegeven door de bovenstaande verdeling van het aantal kinderen over de echtparen. Het gemiddeld aantal kinderen per echtpaar in dat land is dan de verwachtingswaarde   van  ; dus  . De berekening van   kan gemakkelijk in de tabel uitgevoerd worden, zoals in de onderste rij van de tabel getoond wordt.

Voorbeeld 2

We berekenen eens de verwachtingswaarde in de B(9,3)-verdeling.

        k     P(X=k)     k.P(X=k)
    ───────────────────────────────
        0     0,0260      0,0000
        1     0,1171      0,1171
        2     0,2341      0,4682
        3     0,2731      0,8193
        4     0,2049      0,8196
        5     0,1024      0,5120
        6     0,0341      0,2046
        7     0,0073      0,0511
        8     0,0009      0,0072
        9     0,0001      0,0009
    ───────────────────────────────
    totaal                3,0000

Dus  , wat we ook wel heuristisch kunnen inzien.

De verwachtingswaarde   van   wordt ook wel aangeduid met mX of zelfs alleen met m als er geen noodzaak voor verwijzing naar   bestaat. De verwachtingswaarde   is een maat voor het "midden" van de verdeling van  . We zeggen ook wel dat   een maat is voor de "ligging" (dwz. de orde van grootte) van de waarden van  .

In de volgende voorbeelden bestaat de verwachting niet.

Voorbeeld 3

We werpen een zuivere munt zolang tot we "munt" gooien. Als we   keer moesten gooien, krijgen we   uitbetaald. Zij   de uitbetaling, dan is:

 ,

voor   De verwachting van   bestaat niet, want:

 

In zo'n geval zeggen we wel dat  .

Voorbeeld 4

A en B werpen om de beurt een zuivere munt. Wie het eerst kruis gooit is winnaar. A begint en beiden zetten één euro in. Steeds als er "munt" wordt gegooid, wordt de inzet verdubbeld. Voor A lijkt dit aantrekkelijk: al bij de eerste worp is de kans 50% dat hij wint, dus  (ga na). Als we   definiëren als de winst van A, wordt de verdeling van   gegeven door  , voor  

Dus de "gemiddelde winst van A" berekenen we als volgt:

 

Deze reeks convergeert niet en is dus zeker niet absoluut convergent. Dus   bestaat niet. Nu divergeert " " ook niet naar  .

Opmerking 1

We zullen in het vervolg steeds als we over een verwachtingswaarde spreken, er stilzwijgend van uitgaan dat deze verwachtingswaarde bestaat.

We kunnen de verwachtingswaarde van een s.v. ook als volgt berekenen.

Stelling 6.1.1

Voor de verwachting van een s.v.   geldt:

 ;

daarbij wordt dus gesommeerd over alle mogelijke uitkomsten  .

Bewijs:

 .

 

  Deze pagina is vrijgegeven onder de GNU Free Documentation License (GFDL) en nog niet onder CC-BY-SA. Klik hier voor meer informatie.
Informatie afkomstig van https://nl.wikibooks.org Wikibooks NL.
Wikibooks NL is onderdeel van de wikimediafoundation.