Discrete Kansrekening/Verwachtingswaarde/Inleiding

6.1 Inleiding

Werpen we een keer een zuivere dobbelsteen, dan kunnen we ons afvragen wat we als uitkomst zullen verwachten. De bedoeling is niet om de mogelijke uitkomsten met de bijbehorende kansen te noemen, maar één getal. We kunnen ook vragen welk bedrag iemand bereid is (maximaal) per worp te betalen, als hij het geworpen ogenaantal $X$ krijgt uitbetaald. Dat bedrag noemen we het verwachte ogenaantal, of de verwachting(swaarde) van het ogenaantal $X$. Om dat verwachte ogenaantal te bepalen, herhalen we het spel. Als we $n$ onafhankelijke worpen met een zuivere dobbelsteen uitvoeren, dan zal het gemiddelde ogenaantal ${\bar {x}}$ bij die $n$ worpen voor grote $n$ een goede indicatie geven van de verwachting. Er geldt:

${\bar {x}}=fq(1)\times 1+fq(2)\times 2+fq(3)\times 3+fq(4)\times 4+fq(5)\times 5+fq(6)\times 6$,

waarin $fq(k)$ het frequentiequotiënt is van de uitkomst $k$ bij de $n$ worpen. Omdat het frequentiequotiënt als voorbeeld diende voor de kans, zullen we het verwachte ogenaantal $\operatorname {E} X$ definiëren als:

$\operatorname {E} X=p_{X}(1)\times 1+p_{X}(2)\times 2+p_{X}(3)\times 3+p_{X}(4)\times 4+p_{X}(5)\times 5+p_{X}(6)\times 6$.

In ons geval van een zuivere dobbelsteen wordt dat:

$\operatorname {E} X={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\times 1+{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\times 2+{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\times 3+{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\times 4+{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\times 5+{\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\times 6=3{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}$

De algemene definitie voor verwachtingswaarde luidt:

Definitie 6.1.1

Onder de verwachting (of verwachtingswaarde) van een s.v. $X$ verstaan we het getal

$\operatorname {E} X=\sum _{x\in S_{X}}x\cdot P(X=x)=\sum _{x\in S_{X}}x\cdot p_{X}(x)$,

mits de som absoluut convergeert, dus mits

$\sum _{x\in S_{X}}|x|\cdot P(X=x)<\infty$

Als dit niet het geval is, dan zeggen we dat de verwachting niet bestaat.

Zoals we uit de definitie zien, is de verwachtingswaarde van een s.v. $X$ het gewogen gemiddelde van de mogelijke waarden van $X$, met als gewichten de kansen op die waarden.

Voorbeeld 1

In een land is de volgende verdeling van het aantal kinderen over de echtparen bekend:

   ───────────────────────────────────────────────────────
      k    0      1      2      3      4        totaal
   ───────────────────────────────────────────────────────
     p(k)  0,15   0,30   0,30   0,20   0,05     1,00
    kp(k)  0      0,30   0,60   0,60   0,20     1,70 = EX
   ───────────────────────────────────────────────────────

Zij $X$ het aantal kinderen van een willekeurig echtpaar in dat land. Dan is $S_{X}=\{0,1,2,3,4\}$ en de kansverdeling van $X$ wordt dan juist gegeven door de bovenstaande verdeling van het aantal kinderen over de echtparen. Het gemiddeld aantal kinderen per echtpaar in dat land is dan de verwachtingswaarde $\operatorname {E} X$ van $X$; dus $\operatorname {E} X=0\times 0{,}15+1\times 0{,}30+2\times 0{,}30+3\times ;0{,}20+4\times 0{,}05=1{,}70$. De berekening van $\operatorname {E} X$ kan gemakkelijk in de tabel uitgevoerd worden, zoals in de onderste rij van de tabel getoond wordt.

Voorbeeld 2

We berekenen eens de verwachtingswaarde in de B(9,3)-verdeling.

        k     P(X=k)     k.P(X=k)
    ───────────────────────────────
        0     0,0260      0,0000
        1     0,1171      0,1171
        2     0,2341      0,4682
        3     0,2731      0,8193
        4     0,2049      0,8196
        5     0,1024      0,5120
        6     0,0341      0,2046
        7     0,0073      0,0511
        8     0,0009      0,0072
        9     0,0001      0,0009
    ───────────────────────────────
    totaal                3,0000

Dus $\operatorname {E} X=3$, wat we ook wel heuristisch kunnen inzien.

De verwachtingswaarde $\operatorname {E} X$ van $X$ wordt ook wel aangeduid met m_X of zelfs alleen met m als er geen noodzaak voor verwijzing naar $X$ bestaat. De verwachtingswaarde $\operatorname {E} X$ is een maat voor het "midden" van de verdeling van $X$. We zeggen ook wel dat $\operatorname {E} X$ een maat is voor de "ligging" (dwz. de orde van grootte) van de waarden van $X$.

In de volgende voorbeelden bestaat de verwachting niet.

Voorbeeld 3

We werpen een zuivere munt zolang tot we "munt" gooien. Als we $n$ keer moesten gooien, krijgen we $2^{n}$ uitbetaald. Zij $X$ de uitbetaling, dan is:

$P(X=2^{n})=2^{-n}$,

voor $n=1,2,3,\ldots$ De verwachting van $X$ bestaat niet, want:

$\sum _{n=1}^{\infty }|2^{n}|2^{-n}=\infty$

In zo'n geval zeggen we wel dat $\operatorname {E} X=\infty$.

Voorbeeld 4

A en B werpen om de beurt een zuivere munt. Wie het eerst kruis gooit is winnaar. A begint en beiden zetten één euro in. Steeds als er "munt" wordt gegooid, wordt de inzet verdubbeld. Voor A lijkt dit aantrekkelijk: al bij de eerste worp is de kans 50% dat hij wint, dus $P({\text{A wint}})>1/2$(ga na). Als we $X$ definiëren als de winst van A, wordt de verdeling van $X$ gegeven door $P(X={-2}^{n})=1/2^{n+1}$, voor $n=0,1,2,\ldots$

Dus de "gemiddelde winst van A" berekenen we als volgt:

$\sum _{n=0}^{\infty }(-2)^{n}({\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}})^{n+1}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}+\ldots$

Deze reeks convergeert niet en is dus zeker niet absoluut convergent. Dus $\operatorname {E} X$ bestaat niet. Nu divergeert "$\operatorname {E} X$" ook niet naar $\infty$.

Opmerking 1

We zullen in het vervolg steeds als we over een verwachtingswaarde spreken, er stilzwijgend van uitgaan dat deze verwachtingswaarde bestaat.

We kunnen de verwachtingswaarde van een s.v. ook als volgt berekenen.

Stelling 6.1.1

Voor de verwachting van een s.v. $X$ geldt:

$\operatorname {E} X=\sum _{s\in S}X(s)p(s)$;

daarbij wordt dus gesommeerd over alle mogelijke uitkomsten $s$.

Bewijs:

$\operatorname {E} X=\sum _{x\in S_{X}}x\cdot P(X=x)=\sum _{x\in S_{X}}x\sum _{\{s\in S|X(s)=x\}}p(s)=\sum _{s\in S}X(s)p(s)$.